Найдите все такие числа х и у (у≠0), что числа х+1/у³ , 2х+1/у² и 3х+1/у³ являются последовательными натуральными числами в указанном порядке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала запишем условие задачи в виде уравнений:

1) х + 1/у³ = n (где n - натуральное число)
2) 2х + 1/у² = n+1
3) 3х + 1/у = n+2

Разделим уравнение (1) на x и уравнение (2) на 2x:
1) 1/x + 1/(xy³) = n/x
2) 1/x + 1/(2xy²) = (n+1)/(2x)

Из данных уравнений получаем:
1) 1 + 1/(y³) = n
2) 1 + 1/(y²) = (n+1)/2

Выразим n из уравнения (1):
n = 1 + 1/(y³)

Подставим найденное значение n в уравнение (2):
1 + 1/(y²) = (1 + 1/(y³) + 1)/2
1 + 1/(y²) = (2 + 1)/(2 y³)
1 + 1/(y²) = 3 / (2 y³)

Умножим обе части уравнения на y³ и упростим:
y³ + 1 = 3 / 2
y³ = 1/2
y = 1/∛2 = ∛2

Теперь подставим значение y в уравнение (1) и найдем x:
1 + 1/(∛8) = n
1 + 1/2 = n
n = 3

Таким образом, числа x и y, удовлетворяющие условию задачи, равны:
x = 3, y = ∛2