Неравенство треугольника (св-во модулей)? Почему |a+b| <= |a| + |b| называется неравенством треугольника? Ведь неравенство треуголка -это a <= b + c. Как из неравенства треугольника выводится |a+b| <= |a| + |b|?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Неравенство треугольника, также известное как неравенство треугольника для модулей чисел, утверждает, что для любых чисел a и b выполняется следующее неравенство: |a + b| <= |a| + |b|. Это неравенство получило название "неравенство треугольника" потому что оно напоминает свойство треугольника, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Чтобы доказать неравенство |a + b| <= |a| + |b|, можно воспользоваться свойствами модуля числа:

Если a и b неотрицательны, то |a| = a, |b| = b, |a + b| = a + b. В таком случае неравенство становится: a + b <= a + b, что верно.

Если a неотрицательно, а b отрицательно, то |a| = a, |b| = -b, |a + b| = a - b. Тогда неравенство преобразуется к виду: a - b <= a + b, что также верно.

Если a и b отрицательны, то |a| = -a, |b| = -b, |a + b| = -(a + b). Неравенство станет: -(a + b) <= -(a + b), что также верно.

Таким образом, из этих рассуждений и свойств модуля числа можно утверждать, что неравенство |a + b| <= |a| + |b| выполняется для любых чисел a и b.