Почему выражение делится на 6? m^5n-n^5m, где m и n — натуральные числа, m > n. Доказать что при любых n и m результат делится на 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала факторизуем данное выражение:

m^5n - n^5m = mn(m^4 - n^4) = mn(m^2 + n^2)(m^2 - n^2) = mn(m^2 + n^2)(m + n)(m - n)

Теперь докажем, что выражение делится на 6 при любых натуральных числах m и n, где m > n.

Первый множитель mn делится на 2.Второй множитель (m^2 + n^2) является суммой двух квадратов и делится на 2 при четном количестве четных чисел среди m и n (по критерию делимости на 2).Третий множитель (m + n) также делится на 2, так как является суммой двух натуральных чисел.Четвертый множитель (m - n) делится на 2 при четном количестве четных чисел среди m и n (по критерию делимости на 2).

Таким образом, каждый из множителей делится на 2, а значит, произведение всех четырех множителей делится на 2^4 = 16.

Также, по критерию делимости на 3, результат деления любой суммы цифр на 3 равен 0, 1 или 2. При этом разности между множителями могут быть как 0, так и другие значения, но их сумма даст кратное 3 число.

Таким образом, результат деления данного выражения на 6 доказан.