Как исследовать устойчивость предельного цикла динамической системы? Задача из учебника В.И. Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения"
Исследовать устойчивость предельного цикла r = 1 для системы, заданной в полярных координатах уравнениями:d_r/d_t = (r^2 - 1) * (2 * x - 1)
d_phi/d_t = 1
где x = r * Cos(phi)
Честно говоря, не знаю как к ней приступиться

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования устойчивости предельного цикла можно линеаризовать систему уравнений в окрестности предельного цикла и анализировать характеристики полученной линеаризованной системы.

Найдем предельный цикл. Для этого подставим r = 1 в уравнение для d_r/d_t и найдем соответствующее значение x. Получим уравнение:
d_r/d_t = (1 - 1) (2 x - 1) = 0
Отсюда следует, что x = 1/2. Таким образом, предельный цикл имеет координаты (r=1, x=1/2).

Линеаризуем систему в окрестности предельного цикла. Для этого сделаем замену переменных r = 1 + delta_r и x = 1/2 + delta_x и линеаризуем уравнения. Получим систему уравнений:
d_delta_r/d_t = -3 * delta_r
d_delta_phi/d_t = 1

Анализируем характеристики линеаризованной системы. У стабильного предельного цикла все собственные значения линеаризованной системы должны иметь отрицательную действительную часть. В данном случае, собственные значения матрицы линеаризованной системы равны -3 и 1, что соответствует устойчивому предельному циклу.

Итак, предельный цикл r = 1 устойчив по Ляпунову.