Как взять определенный интеграл от иррационально-квадратной функции? Проболел, пропустил большую часть темы, а тут бах (неожиданно) контрольная сегодня по алгебре. Получил задание: вычислите интеграл от -2 до 2 функции sqrt(4-x^2) по dx. Несколько охренел, но немного помозговав сам допер, что задачу можно решить геометрически: у = sqrt(4-x^2) -> у^2 = 4-x^2 -> x^2 + y^2 = 4 -- а ведь это функция окружности с центром в (0; 0) и радиусом 2. Ну а дальше вспоминаем что интеграл - это площадь подграфика и элементарно решаем. Ода себе :)
Вот только все мучаюсь вопросом, как взять первообразную от sqrt(4-x^2), что бы решить формулой Ньютона-Лейбеца?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления интеграла от sqrt(4-x^2) можно воспользоваться заменой переменных. Пусть x = 2sin(t), тогда dx = 2cos(t) dt. Подставляя это в интеграл, получаем:

∫ sqrt(4-x^2) dx = ∫ sqrt(4 - (2sin(t))^2) 2cos(t) d
= ∫ sqrt(4 - 4sin^2(t)) 2cos(t) d
= ∫ sqrt(4cos^2(t)) 2cos(t) d
= ∫ 2cos(t) 2cos(t) d
= 4∫ cos^2(t) dt

Теперь используем формулу двойного угла для косинуса: cos^2(t) = (1 + cos(2t)) / 2. Подставляем это в интеграл:

4∫ (1 + cos(2t)) / 2 dt = 2∫ (1 + cos(2t)) d
= 2∫ dt + 2∫ cos(2t) d
= 2t + sin(2t) + C

Теперь заменяем обратно переменные, учитывая что x = 2sin(t):

2t + sin(2t) + C = 2arcsin(x/2) + sin(4arcsin(x/2)) + C

Итак, выражение для первообразной функции sqrt(4-x^2) выглядит как 2arcsin(x/2) + sin(4arcsin(x/2)) + C. Теперь используем это выражение для вычисления интеграла от -2 до 2 по формуле Ньютона-Лейбница.