Многомерная аппроксимация полиномами? Подскажите, где найти метод для многомерной (двумерной) аппроксимации полиномами.
Задача: есть матрица измерений, полученная по двум независимым переменным x и y — фактически, наборы точек z(x,y).
Необходимо восстановить функцию вида: z(x,y) = a22*x^2*y^2 + a21*x^2*y + a12*x*y^2 +… + a00, где a21, например, коэффициент для x степени 2 и y степени 1. Значения векторов x и y даны, все точки z(x,y) известны. Найти матрицу коэффициентов a, где максимальная степень полиномов по x и y может задаваться (от 0 до 5).
Не смог найти ни одного описания метода аппроксимации для многомерного случая (или хотя бы двумерного). Знаю, что проблему можно решить методом наименьших квадратов, но его обобщения для многомерного случая также не нашел.
Если кто-нибудь помимо ссылки на описание метода кинет код на C++/C#, буду признателен ).
Многомерная аппроксимация полиномами? Подскажите, где найти метод для многомерной (двумерной) аппроксимации полиномами.
Задача: есть матрица измерений, полученная по двум независимым переменным x и y — фактически, наборы точек z(x,y).
Необходимо восстановить функцию вида: z(x,y) = a22*x^2*y^2 + a21*x^2*y + a12*x*y^2 +… + a00, где a21, например, коэффициент для x степени 2 и y степени 1. Значения векторов x и y даны, все точки z(x,y) известны. Найти матрицу коэффициентов a, где максимальная степень полиномов по x и y может задаваться (от 0 до 5).
Не смог найти ни одного описания метода аппроксимации для многомерного случая (или хотя бы двумерного). Знаю, что проблему можно решить методом наименьших квадратов, но его обобщения для многомерного случая также не нашел.
Если кто-нибудь помимо ссылки на описание метода кинет код на C++/C#, буду признателен ).
Задача: есть матрица измерений, полученная по двум независимым переменным x и y — фактически, наборы точек z(x,y).
Необходимо восстановить функцию вида: z(x,y) = a22*x^2*y^2 + a21*x^2*y + a12*x*y^2 +… + a00, где a21, например, коэффициент для x степени 2 и y степени 1. Значения векторов x и y даны, все точки z(x,y) известны. Найти матрицу коэффициентов a, где максимальная степень полиномов по x и y может задаваться (от 0 до 5).
Не смог найти ни одного описания метода аппроксимации для многомерного случая (или хотя бы двумерного). Знаю, что проблему можно решить методом наименьших квадратов, но его обобщения для многомерного случая также не нашел.
Если кто-нибудь помимо ссылки на описание метода кинет код на C++/C#, буду признателен ).
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Для многомерной аппроксимации полиномами можно воспользоваться методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений, которая будет иметь следующий вид:
A^T A x = A^T * b,
где A - матрица, составленная из значений переменных x, y и их степеней, b - вектор значений z(x, y), x - вектор коэффициентов полинома.
Также можно воспользоваться библиотеками для численного анализа, такими как NumPy (для Python) или Eigen (для C++), которые имеют встроенные функции для решения задач аппроксимации.
Ниже приведен пример кода на Python с использованием NumPy:
import numpy as np# Заданные значения x, y и z
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([1, 2, 3, 4])
z = np.array([[1, 2, 3, 4],
[2, 4, 6, 8],
[3, 6, 9, 12],
[4, 8, 12, 16]])
# Формирование матрицы A
def generate_A(x, y, max_degree):
A = np.ones((len(x), (max_degree + 1)**2))
index = 1
for i in range(1, max_degree + 1):
for j in range(i + 1):
A[:, index] = x**(i-j) * y**j
index += 1
return A
# Решение системы уравнений
def solve_system(x, y, z, max_degree):
A = generate_A(x, y, max_degree)
x = np.linalg.solve(np.dot(A.T, A), np.dot(A.T, z.flatten()))
return x
# Получение коэффициентов полинома
coefficients = solve_system(x, y, z, 5)
print(coefficients)
Надеюсь, данный код поможет вам решить задачу многомерной аппроксимации полиномами.