y=2x+1/x; исследуйте функцию и постройте ее график

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим область определения функции y=2x+1/x. Очевидно, что функция не определена при x=0, так как в знаменателе у нас есть деление на ноль. Значит, область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме нуля (R{0}).

Теперь найдем производную функции y=2x+1/x:

y' = d(2x)/dx + d(1/x)/dx = 2 - 1/x^2 = (2x^2 - 1)/x^2

Для поиска экстремумов приравняем производную к нулю:

(2x^2 - 1)/x^2 = 0
2x^2 - 1 = 0
2x^2 = 1
x^2 = 1/2
x = ±√(1/2)

Получаем две точки экстремума: x = √(1/2) и x = -√(1/2).

Теперь определим поведение функции в окрестности найденных точек экстремума. Для этого можно построить знаковую таблицу производной:

Из этой таблицы видно, что функция убывает на (-∞, -√(1/2)), возрастает на (-√(1/2), √(1/2)) и снова убывает на (√(1/2), +∞).

Теперь построим график функции y=2x+1/x, используя полученную информацию:

На графике видно, что функция имеет два экстремума и ограничена областью определения.