Решить систему уравнений[tex]\left \{ {{x^{3} -y^{3}=65 } \atop {x^{2}y-xy^{2}=-20 }} \right.[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Выразим одну из переменных через другую. Для этого выразим y через x из второго уравнения:

x^2y - xy^2 = -20
xy(x - y) = -20
y = x - 20/x

Подставим это выражение в первое уравнение:

x^3 - (x - 20/x)^3 = 65
x^3 - (x^3 - 60 + 120/x - 800/x^3) = 65
60 - 120/x + 800/x^3 = 65
-120/x + 800/x^3 = 5
-120x^2 + 800 = 5x^3
5x^3 + 120x^2 - 800 = 0

Теперь мы должны решить это уравнение. Мы можем заметить, что x = 5 является его корнем, так что мы можем разделить многочлен на (x - 5) и решить его как квадратное уравнение:

(x - 5)(5x^2 + 145x + 160) = 0

Отсюда получаем три корня:
x1 = 5
x2 ≈ -3.255
x3 ≈ -6.745

Используя выражение для y из второго уравнения, найдем значения y:
y1 = x1 - 20/x1 = 5 - 20/5 = 1
y2 ≈ -4.745
y3 ≈ 5.745

Итак, у системы уравнений даны три решения:
(5,1), (-3.255, -4.745), (-6.745, 5.745)