Докажите, что все касательные, проведённые к графику функции y=x-3/x-5 создают тупой угол с положительным направлением оси x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения найдем производную функции y = x - 3 / x - 5:

y' = (1 (x - 5) - (x - 3) 1) / (x - 5)^
y' = (x - 5 - x + 3) / (x - 5)^
y' = -2 / (x - 5)^2

Производная данной функции равна -2 / (x - 5)^2. Это означает, что функция убывает на всей области определения.

Теперь обратимся к геометрической интерпретации производной. Производная в точке равна tg(α), где α - угол между графиком функции и положительным направлением оси x. Таким образом, тангенс угла наклона касательной в каждой точке равен -2 / (x - 5) ^ 2.

Учитывая, что тангенс отрицателен при тупом угле, а для положительного значения x, т. е. на всей области определения, производная положительна (поэтому касательная проводится к графику функции сверху), можно заключить, что все касательные, проведенные к графику функции y = x - 3 / x - 5, создают тупой угол с положительным направлением оси x.