Почему определённый интеграл численно равен площади фигуры под графиком? Как это доказать?
Почему получается, что первообразная равна площади, как прийти к этому алгебраически?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Определенный интеграл численно равен площади под графиком функции на заданном интервале из-за свойств интеграла, которые позволяют интерпретировать его как предел суммы площадей бесконечно узких прямоугольников под графиком функции.

Для доказательства этого факта можно воспользоваться определением определенного интеграла через пределы суммы Римана:
[ \int{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x_i ]
где ( x_i = a + i \cdot \Delta x ), а ( \Delta x = \frac{b-a}{n} ) - ширина каждого участка разбиения, ( f(x_i) ) - значение функции в точке ( x_i ).

Далее необходимо показать, что сумма Римана стремится к площади под графиком функции при дроблении интервала на бесконечно малые участки.

Касательно первообразной, есть теорема Фундаментального теоремы исчисления, которая утверждает, что если функция f(x) является непрерывной на интервале [a, b] и F(x) - ее первообразная, то определенный интеграл функции f(x) с интегрированием от a до b равен разности значений F(x) в точках a и b:
[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) ]
Последнее свойство и дает возможность алгебраически сопоставить первообразную функции и площадь под графиком.