Доказать, что при любом натуральном n :а) n(n+1) кратно 2б)n²+3n кратно 2в) n(n+1)(2n+1) кратно 6г) n(2n+1)(2n-1) кратно 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим два случая:
1) Если n - четное число, то n(n+1) кратно 2, так как один из множителей - четное число.
2) Если n - нечетное число, то n+1 - четное число, и произведение n(n+1) также кратно 2.
Таким образом, n(n+1) кратно 2 при любом натуральном n.

б) n²+3n = n(n+3). При умножении n на любое целое число, результат также будет кратен n. Так как n кратно 2, значит и произведение n(n+3) будет кратно 2.

в) n(n+1)(2n+1) - произведение трех последовательных натуральных чисел. Если одно из чисел n, n+1 или 2n+1 делится на 2, произведение будет кратно 2. Так как одно из чисел n или n+1 - четное, то и n(n+1)(2n+1) будет кратно 2. Также, если n делится на 3, то один из сомножителей делится на 3, а значит, и произведение будет кратно 3.

г) n(2n+1)(2n-1) - снова произведение трех последовательных натуральных чисел. Если одно из чисел n, 2n+1 или 2n-1 делится на 3, то и произведение будет кратно 3. Так как любое натуральное число либо делится на 3, либо имеет след остаток при делении на 3 (равен 1 или 2), то одно из чисел выражения n(2n+1)(2n-1) будет кратно 3, а значит, и само произведение будет кратно 3.

Таким образом, при любом натуральном n выполнены условия а), б), в) и г).