Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать на сходимость на концах интервала
∞
∑ ((∛(n+1)^n)/n!)*x^n
n = 1
Изобразил как мог, надеюсь понятно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда необходимо воспользоваться признаком Даламбера (или радикальным признаком Коши).

Применяем признак Даламбера:
lim |a_{n+1}/a_n| = lim |((∛((n+2)^(n+1))/(n+1)!)x^(n+1))/((∛(n+1)^n)/n!)x^n| = lim |(∛((n+2)^(n+1))/(n+1))|x| = lim |∛((1 + 1/(n+1))^(n+1))||x| = lim |e|x| = |e||x|

Получили, что ряд сходится при |x| < 1/e и расходится при |x| > 1/e.

Исследуем на сходимость на концах интервала:
При x = 1/e ряд становится ∑((∛(n+1)^n)/n!)(1/e)^n, что можно переписать как ∑(1/(n!e^(2/3))) - сумма этого ряда конечна, следовательно, ряд сходится при x = 1/e.

При x = -1/e ряд становится ∑((-1)^n*(∛(n+1)^n)/n!) - этот ряд сходится по признаку Лейбница, следовательно, ряд сходится при x = -1/e.

Итак, интервал сходимости степенного ряда равен (-1/e, 1/e], при x = 1/e и x = -1/e ряд сходится.