Написать три первых члена степенного ряда по задоному общему члену 2^n x^x/6^n+3^n. найти интервал сходимости ряда и исследовать ее сходимость на концах......

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первые три члена степенного ряда по данному общему члену:

a_1 = 2^1 x^(1) / 6^(1) + 3^(1)
a_2 = 2^2 x^(2) / 6^(2) + 3^(2)
a_3 = 2^3 * x^(3) / 6^(3) + 3^(3)

Упростим выражения:

a_1 = 2x / 18 + 9
a_2 = 4x^2 / 36 + 27
a_3 = 8x^3 / 216 + 81

Теперь найдем интервал сходимости ряда. Для этого воспользуемся признаком Даламбера:

lim (n → ∞) |a_(n+1) / a_n| = lim (n → ∞) |6^(n+1) + 3^(n+1)| / |6^n + 3^n|

= lim (n → ∞) |(6/3)^(n+1) + (3/3)^(n+1)| / |(6/3)^n + (3/3)^n|

= lim (n → ∞) |2(6/3)^n + (3/3)^n| / |2(6/3)^(n-1) + (3/3)^(n-1)|

= 2 > 1

Таким образом, ряд сходится при любом значении x.

Чтобы исследовать сходимость ряда на концах интервала, подставим x = ±∞:

При x = +∞ обе части ряда будут стремиться к плюс бесконечности, значит ряд расходится.

При x = -∞ обе части ряда будут стремиться к минус бесконечности, также ряд расходится.

Итак, ряд сходится на всей числовой прямой, кроме бесконечностей.