1)найти экстремум функции z=xy при условии x+y=1
2)найти наибольшее и наименьшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в областе :
x+y-10=0
y=0
x=5

29 Авг 2019 в 13:42
146 +1
0
Ответы
1

1) Решение:

Используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
L(x,y,λ) = xy + λ(x+y-1)

Найдем частные производные по x, y и λ:
∂L/∂x = y + λ = 0
∂L/∂y = x + λ = 0
∂L/∂λ = x + y - 1 = 0

Из первых двух уравнений найдем x и y:
y = -λ
x = -λ

Подставим найденные значения в третье уравнение:
-λ - λ - 1 = 0
-2λ = 1
λ = -1/2

Теперь найдем x и y:
y = -(-1/2) = 1/2
x = -(-1/2) = 1/2

Таким образом, найден экстремум функции z=xy при условии x+y=1: z=1/4.

2) Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в указанной области необходимо проверить значения функции в узлах и на границах области.

В узлах области:
Подставим значения x=5 и y=0 в функцию z:
z = 5^2 - 250 - 0^2 + 4*5 + 1
z = 25 + 20 + 1
z = 46

На границе x+y-10=0:
Из этого уравнения получаем, что x=10-y.
Подставляем это значение в функцию z:
z = (10-y)^2 - 2(10-y)y - y^2 + 4(10-y) + 1
z = 100 - 20y + y^2 - 20y - 2y^2 - y^2 + 40 - 4y + 1
z = -3y^2 - 25y + 141
z = -3(y^2 + 8.33y - 47)

Найдем вершину параболы -x = -8.33/6 = -1.38, где x = -b/(2a)
Подставляем полученный x в z:
z = -(8.33/6)^2 - 8.33*8.33/6 + 141
z = 24.24

На границе y=0:
Подставляем y=0 в функцию z:
z = x^2 - 2x*0 - 0^2 + 4x + 1
z = x^2 + 4x + 1

Вычислим экстремум функции z=x^2+4x+1. Для этого найдем вершину параболы x = -b/(2a):
x = -4/(21) = -2
Итак, z = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3

Таким образом, наибольшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в области равно 46 (в узлах), а наименьшее значение равно -3 (на границе y=0).

20 Апр в 12:49
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 87 327 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир