Найдем частные производные по x, y и λ: ∂L/∂x = y + λ = 0 ∂L/∂y = x + λ = 0 ∂L/∂λ = x + y - 1 = 0
Из первых двух уравнений найдем x и y: y = -λ x = -λ
Подставим найденные значения в третье уравнение: -λ - λ - 1 = 0 -2λ = 1 λ = -1/2
Теперь найдем x и y: y = -(-1/2) = 1/2 x = -(-1/2) = 1/2
Таким образом, найден экстремум функции z=xy при условии x+y=1: z=1/4.
2) Решение:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в указанной области необходимо проверить значения функции в узлах и на границах области.
В узлах области: Подставим значения x=5 и y=0 в функцию z: z = 5^2 - 250 - 0^2 + 4*5 + 1 z = 25 + 20 + 1 z = 46
На границе x+y-10=0: Из этого уравнения получаем, что x=10-y. Подставляем это значение в функцию z: z = (10-y)^2 - 2(10-y)y - y^2 + 4(10-y) + 1 z = 100 - 20y + y^2 - 20y - 2y^2 - y^2 + 40 - 4y + 1 z = -3y^2 - 25y + 141 z = -3(y^2 + 8.33y - 47)
Найдем вершину параболы -x = -8.33/6 = -1.38, где x = -b/(2a) Подставляем полученный x в z: z = -(8.33/6)^2 - 8.33*8.33/6 + 141 z = 24.24
На границе y=0: Подставляем y=0 в функцию z: z = x^2 - 2x*0 - 0^2 + 4x + 1 z = x^2 + 4x + 1
Вычислим экстремум функции z=x^2+4x+1. Для этого найдем вершину параболы x = -b/(2a): x = -4/(21) = -2 Итак, z = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3
Таким образом, наибольшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в области равно 46 (в узлах), а наименьшее значение равно -3 (на границе y=0).
1) Решение:
Используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
L(x,y,λ) = xy + λ(x+y-1)
Найдем частные производные по x, y и λ:
∂L/∂x = y + λ = 0
∂L/∂y = x + λ = 0
∂L/∂λ = x + y - 1 = 0
Из первых двух уравнений найдем x и y:
y = -λ
x = -λ
Подставим найденные значения в третье уравнение:
-λ - λ - 1 = 0
-2λ = 1
λ = -1/2
Теперь найдем x и y:
y = -(-1/2) = 1/2
x = -(-1/2) = 1/2
Таким образом, найден экстремум функции z=xy при условии x+y=1: z=1/4.
2) Решение:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в указанной области необходимо проверить значения функции в узлах и на границах области.
В узлах области:
Подставим значения x=5 и y=0 в функцию z:
z = 5^2 - 250 - 0^2 + 4*5 + 1
z = 25 + 20 + 1
z = 46
На границе x+y-10=0:
Из этого уравнения получаем, что x=10-y.
Подставляем это значение в функцию z:
z = (10-y)^2 - 2(10-y)y - y^2 + 4(10-y) + 1
z = 100 - 20y + y^2 - 20y - 2y^2 - y^2 + 40 - 4y + 1
z = -3y^2 - 25y + 141
z = -3(y^2 + 8.33y - 47)
Найдем вершину параболы -x = -8.33/6 = -1.38, где x = -b/(2a)
На границе y=0:Подставляем полученный x в z:
z = -(8.33/6)^2 - 8.33*8.33/6 + 141
z = 24.24
Подставляем y=0 в функцию z:
z = x^2 - 2x*0 - 0^2 + 4x + 1
z = x^2 + 4x + 1
Вычислим экстремум функции z=x^2+4x+1. Для этого найдем вершину параболы x = -b/(2a):
x = -4/(21) = -2
Итак, z = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3
Таким образом, наибольшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в области равно 46 (в узлах), а наименьшее значение равно -3 (на границе y=0).