Пускай m и n--такие числа,что число (m*m)+9mn+(n*n) делится на 11.Докажите, что число (n*n) -(m*m) тоже делится на 11

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем квадраты из чисел m и n:

(mm) + 9mn + (nn) = (m*n + 3n)^2

Так как число (mm) + 9mn + (nn) делится на 11, то и его квадрат также будет делиться на 11.

Тогда (mn + 3n)^2 ≡ 0 (mod 11),
mn + 3n ≡ 0 (mod 11),
n(m + 3) ≡ 0 (mod 11).

Таким образом, либо n ≡ 0 (mod 11), либо m ≡ -3 (mod 11).
В первом случае целение доказано, так как в таком случае (nn) - (mm) также будет делиться на 11.

Во втором случае, если m ≡ -3 (mod 11), то mm ≡ 9 (mod 11), а (nn) - (mm) ≡ (nn) - 9 ≡ (nn) + 2 (mod 11). Так как чтобы (mm) + 9mn + (nn) было кратно 11, то и числа m и n не могут быть кратны 11 одновременно, а значит (nn) + 2 не кратно 11. Получен противоречивый результат.

Следовательно, предположение о том, что число (nn) - (mm) не делится на 11 при условии, что (mm) + 9mn + (nn) делится на 11, неверно.