Доказать тождества, используя основные теоремы и аксиомы алгебры множеств. U — универсальное множество.
A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть x принадлежит множеству A∩(B△C). Значит, x принадлежит множеству A и одновременно x принадлежит множеству B△C. Это означает, что x принадлежит A и либо x принадлежит B, но не принадлежит C, либо x принадлежит C, но не принадлежит B.
Таким образом, x принадлежит A и x одновременно принадлежит B, но не принадлежит C, или x принадлежит A и x одновременно принадлежит C, но не принадлежит B.
Отсюда следует, что x принадлежит множеству (A∩B)△(A∩C).

Пусть x принадлежит множеству (A∩B)△(A∩C). Значит, x либо принадлежит множеству A∩B и не принадлежит A∩C, либо x принадлежит A∩C и не принадлежит A∩B.
Так как x принадлежит A∩B, то x принадлежит A и x принадлежит B. А так как x не принадлежит A∩C, то x не принадлежит С. Таким образом, x принадлежит множеству A и x одновременно принадлежит множеству B, но не принадлежит C.
Отсюда следует, что x принадлежит множеству A∩(B△C).

Таким образом, мы доказали оба включения и установили равенство множеств A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C) при условии, что U — универсальное множество.