Угол при основании равнобедренного треугольника ABC равен 75°, а площадь равна 100. Найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника ABC. В ответе запишите целую часть найденной площади. Напишите хотя бы от чего отталкиваться!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно использовать формулу площади равнобедренного треугольника через биссектрису:
S = \frac{1}{2} a h,
где a - основание равнобедренного треугольника, h - высота треугольника.

Так как угол при основании равен 75°, имеем прямоугольный треугольник ACH, где AC - гипотенуза, AH - катет. Тогда для нахождения высоты треугольника ABC можем воспользоваться тригонометрией:
h = AC \cdot \sin(75°) = \frac{AC}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{AC}{2} = \frac{AC \cdot (1+\sqrt{3})}{2}.

Так как площадь треугольника ABC равна 100, то
S = \frac{1}{2} a \cdot \frac{AC \cdot (1+\sqrt{3})}{2} = 100,
a \cdot AC = \frac{400}{1 + \sqrt{3}}.

Теперь находим площадь треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника ABC. В треугольнике ABX с высотой XH найдем площадь AXH:
S_{AXH} = \frac{1}{2} AX \cdot XH,
где AX = AC - a, XH = h.

Тогда
S_{AXH} = \frac{1}{2} \left( AC - \frac{400}{1 + \sqrt{3}} \right) \cdot \frac{AC \cdot (1+\sqrt{3})}{2}.

Подставляем найденные значения и получаем численный ответ.