Сделать полное исследование функции y=(9x⁴/4)-((13)³/3)x+0.5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Итак, давайте проведем полное исследование функции y=(9x⁴/4)-((13)³/3)x+0.5.

Найдем производные функции:
y' = 9x³ - (13)³/3

Если приравнять производную к нулю, мы можем найти точки экстремума функции.

9x³ - (13)³/3 = 0
9x³ = (13)³/3
x³ = (13)³/27
x = (13) / 3√27
x ≈ 2.164

Подставим найденное значение x в исходную функцию, чтобы найти y:
y(2.164) = (9(2.164)⁴)/4 - ((13)³/3)2.164 + 0.5
y(2.164) ≈ 10.046

Таким образом, точка экстремума функции находится при x ≈ 2.164, y ≈ 10.046.

Исследуем выпуклость и вогнутость уравнения. Для этого найдем вторую производную:
y'' = 27x²

Теперь подставим найденную точку экстремума во вторую производную:
y''(2.164) = 27*(2.164)²
y''(2.164) ≈ 13.874

Поскольку вторая производная положительная, это означает, что функция выпукла в точке экстремума при x ≈ 2.164.

Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью OX (y=0):
9x⁴/4 - (13)³/3)x + 0.5 = 0
9x⁴/4 = (13)³/3)x - 0.5
x³ = (13)³/27
x = (13) / 3√27
x ≈ 2.164

Это же значение x мы уже нашли как точку экстремума.

с осью OY (x=0):
y(0) = 0.5

Итак, точки пересечения с осями координат: (0, 0.5) и (2.164, 0).

Построим график функции y=(9x⁴/4)-((13)³/3)x+0.5, используя найденные точки и данные о выпуклости.

График функции будет выпуклым вверх в точке экстремума, проходя через точки (0, 0.5) и (2.164, 0).