Доказать что число 16^11 - 2^39 делиться на 31. Подробно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства делимости данного числа на 31, воспользуемся малой теоремой Ферма.

По малой теореме Ферма:
Если p - простое число, а a - целое число, не кратное p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Так как 16 и 31 взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то по теореме Ферма:
16^30 ≡ 1 (mod 31)

Теперь найдем остаток от деления 11 на 30:
11 = 0*30 + 11
Таким образом, 16^11 ≡ 16^1 ≡ 16 (mod 31)

Аналогично, по малой теореме Ферма:
2^30 ≡ 1 (mod 31)

Теперь найдем остаток от деления 39 на 30:
39 = 1*30 + 9
Таким образом, 2^39 ≡ 2^9 (mod 31)

Теперь можем выразить исходное число:
16^11 - 2^39 = 16 - 2^9 = 16 - 512 ≡ 16 - 14 ≡ 2 (mod 31)

Таким образом, исходное число 16^11 - 2^39 делится на 31, так как его остаток при делении на 31 равен 2.