Задача №9Докажите, что у клетчатого многоугольника с площадью 300 и периметром 300 есть сторона, длиной более, чем 1(Многоугольник не имеет дырок, его граница - замкнутая ломаная без самопересечений)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нашего клетчатого многоугольника с площадью 300 и периметром 300 все стороны имеют длину не более 1.

Так как периметр равен 300, то сумма длин всех сторон равна 300.

Пусть у нашего многоугольника n сторон. Тогда сумма длин всех сторон будет равна n, так как все стороны имеют длину не более 1.

Таким образом, имеем уравнение:
n ≤ 300.

Также из формулы площади S = a * b, где a - длина стороны многоугольника, b - высота многоугольника, видим, что произведение длины стороны и высоты не может быть меньше площади фигуры, т.е. ab ≥ 300.

Для клетчатого многоугольника это означает, что площадь многоугольника должна быть целым числом.

Так как имеем площадь 300, а исходя из условия многоугольник состоит из n сторон, длину каждой из которых можно представить как a = 300/n. Однако, так как n≤300, получается, что a ≥ 300/300 = 1, что противоречит нашему изначальному предположению.

Следовательно, у клетчатого многоугольника с площадью 300 и периметром 300 должна быть сторона, длиной более чем 1.