В равнобокую трапецию вписан круг радиуса r. Боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол а. Найдите радиус круга, описанного возле трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть b - длина боковой стороны трапеции, h - высота трапеции из вершины до боковой стороны, R - радиус описанного окружности.

Так как круг радиуса r вписан в трапецию, то радиус этого круга - отрезок, проведенный от середины боковой стороны трапеции к точке касания круга со стороной трапеции. Таким образом, этот отрезок делит сторону трапеции на две части: b/2 - r и b/2 - r.

Так как угол между меньшим основанием и боковой стороной равен а, то получаем, что b / 2r = sin(a). Следовательно, b = 2r * sin(a).

Также, из подобия прямоугольных треугольников, можно найти, что R / (R + r) = (b / 2) / r. Отсюда получаем, что R = r (b / 2) / (1 - b / 2r) = r sin(a) / (1 - sin(a)).

Итак, радиус круга, описанного возле трапеции, равен r * sin(a) / (1 - sin(a)).