a) (x^2-3)(x+x^3)Для нахождения производной произведения функций используем правило производной произведения:(fg)' = f'g + fg'
f(x) = x^2 - 3, g(x) = x + x^3
f'(x) = 2x, g'(x) = 1 + 3x^2
Теперь найдем производную исходной функции:(fg)' = f'g + fg'= (2x)(x + x^3) + (x^2 - 3)(1 + 3x^2)= 2x^2 + 2x^4 + x^2 + 3x^4 - 3 - 9x^2= 3x^4 - 6x^2 - 3
Ответ: 3x^4 - 6x^2 - 3
б) x^5 + x^2/(x+1)Разделим функцию на две части и найдем их производные отдельно:f(x) = x^5, g(x) = x^2/(x+1)
f'(x) = 5x^4g(x) = x^2/(x+1)g'(x) = [(2x)(x+1) - x^2]/(x+1)^2g'(x) = (2x^2 + 2x - x^2)/(x+1)^2g'(x) = (x^2 + 2x)/(x+1)^2
Теперь найдем производную исходной функции:(fg)' = f'g + fg'= 5x^4 x^2/(x+1) + x^5 (x^2 + 2x)/(x+1)^2= 5x^6/(x+1) + x^7 + 2x^6/(x+1)= 5x^6/(x+1) + x^7 + (2x^6 + 2x^7)/(x+1)= 5x^6/(x+1) + x^7 + (2x^6 + 2x^7)/(x+1)= x^7 + (7x^6 + 2x^7)/(x+1)
Ответ: x^7 + (7x^6 + 2x^7)/(x+1)
Для нахождения производной данного выражения используем правило дифференцирования функции вида y = u/v:y' = (vu' - uv')/v^2
u = x, v = sqrt(x+2)
u' = 1, v' = 1/(2*sqrt(x+2))
Подставляем значения в формулу:y' = (sqrt(x+2)1 - x(1/(2sqrt(x+2))))/(sqrt(x+2))^2y' = (sqrt(x+2) - x/(2sqrt(x+2)))/(x+2)y' = (sqrt(x+2) - x/sqrt(x+2)*1/2)/(x+2)y' = (sqrt(x+2) - x/2sqrt(x+2))/(x+2)y' = (2(x+2) - x)/(2sqrt(x+2)(x+2))y' = (2x + 4 - x)/(2(x+2)sqrt(x+2))y' = x + 4/(2(x+2)sqrt(x+2))y' = (x + 2)/((x+2)sqrt(x+2))y' = 1/sqrt(x+2)
Ответ: y' = 1/sqrt(x+2)
a) (x^2-3)(x+x^3)
Для нахождения производной произведения функций используем правило производной произведения:
(fg)' = f'g + fg'
f(x) = x^2 - 3, g(x) = x + x^3
f'(x) = 2x, g'(x) = 1 + 3x^2
Теперь найдем производную исходной функции:
(fg)' = f'g + fg'
= (2x)(x + x^3) + (x^2 - 3)(1 + 3x^2)
= 2x^2 + 2x^4 + x^2 + 3x^4 - 3 - 9x^2
= 3x^4 - 6x^2 - 3
Ответ: 3x^4 - 6x^2 - 3
б) x^5 + x^2/(x+1)
Разделим функцию на две части и найдем их производные отдельно:
f(x) = x^5, g(x) = x^2/(x+1)
f'(x) = 5x^4
g(x) = x^2/(x+1)
g'(x) = [(2x)(x+1) - x^2]/(x+1)^2
g'(x) = (2x^2 + 2x - x^2)/(x+1)^2
g'(x) = (x^2 + 2x)/(x+1)^2
Теперь найдем производную исходной функции:
(fg)' = f'g + fg'
= 5x^4 x^2/(x+1) + x^5 (x^2 + 2x)/(x+1)^2
= 5x^6/(x+1) + x^7 + 2x^6/(x+1)
= 5x^6/(x+1) + x^7 + (2x^6 + 2x^7)/(x+1)
= 5x^6/(x+1) + x^7 + (2x^6 + 2x^7)/(x+1)
= x^7 + (7x^6 + 2x^7)/(x+1)
Ответ: x^7 + (7x^6 + 2x^7)/(x+1)
y = x/sqrt(x+2)Для нахождения производной данного выражения используем правило дифференцирования функции вида y = u/v:
y' = (vu' - uv')/v^2
u = x, v = sqrt(x+2)
u' = 1, v' = 1/(2*sqrt(x+2))
Подставляем значения в формулу:
y' = (sqrt(x+2)1 - x(1/(2sqrt(x+2))))/(sqrt(x+2))^2
y' = (sqrt(x+2) - x/(2sqrt(x+2)))/(x+2)
y' = (sqrt(x+2) - x/sqrt(x+2)*1/2)/(x+2)
y' = (sqrt(x+2) - x/2sqrt(x+2))/(x+2)
y' = (2(x+2) - x)/(2sqrt(x+2)(x+2))
y' = (2x + 4 - x)/(2(x+2)sqrt(x+2))
y' = x + 4/(2(x+2)sqrt(x+2))
y' = (x + 2)/((x+2)sqrt(x+2))
y' = 1/sqrt(x+2)
Ответ: y' = 1/sqrt(x+2)