Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций.
[tex]y' = \left(x\right)'\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right) + x\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)'[/tex]
Сначала вычислим производную первого множителя:[tex]\left(x\right)' = 1[/tex]
Теперь вычислим производную второго множителя. Для этого воспользуемся цепным правилом дифференцирования:[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \left(x^{2} - 1\right)'[/tex][tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot 2x[/tex][tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для вычисления производной:[tex]y' = 1 \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex][tex]y' = \sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
Таким образом, производная функции [tex]y=x\sqrt{x^{2}- 1}[/tex] равна [tex]\sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex].
Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций.
[tex]y' = \left(x\right)'\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right) + x\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)'[/tex]
Сначала вычислим производную первого множителя:
[tex]\left(x\right)' = 1[/tex]
Теперь вычислим производную второго множителя. Для этого воспользуемся цепным правилом дифференцирования:
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \left(x^{2} - 1\right)'[/tex]
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot 2x[/tex]
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для вычисления производной:
[tex]y' = 1 \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
[tex]y' = \sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
Таким образом, производная функции [tex]y=x\sqrt{x^{2}- 1}[/tex] равна [tex]\sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex].