Доказать что если квадрат делится на простое число ,то он делится и на его корень

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть k - квадрат целого числа, так что k = n^2, где n - целое число. Предположим, что простое число p делится на k, то есть k делится на p без остатка. Тогда n^2 делится на p без остатка.

Так как p - простое число, оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Следовательно, чтобы n^2 делился на p, n также должно быть кратным p (то есть n должно быть равно mp, где m - целое число).

Тогда k = n^2 = (mp)^2 = m^2 * p^2, таким образом, k делится на p^2. Следовательно, если квадрат целого числа делится на простое число p, то он также делится на p^2, что означает, что он делится на корень из p.