Распишите подробное решение
[tex]sin10а*sin50а*sin70а[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: [tex]\sin{10a}\sin{50a}\sin{70a}[/tex]

Для удобства решения данной задачи воспользуемся первой тригонометрической формулой для произведения синусов:

[tex]2\sin{a}*\sin{b} = \cos{(a - b)} - \cos{(a + b)}[/tex]

Преобразуем выражение [tex]\sin{10a}*\sin{50a}[/tex]:

[tex]2\sin{10a}*\sin{50a} = \cos{(10a - 50a)} - \cos{(10a + 50a)} = \cos{(-40a)} - \cos{60a} = \cos{40a} - \cos{60a}[/tex]

Теперь преобразуем [tex]\sin{50a}*\sin{70a}[/tex]:

[tex]2\sin{50a}*\sin{70a} = \cos{(50a - 70a)} - \cos{(50a + 70a)} = \cos{(-20a)} - \cos{120a} = \cos{20a} - \cos{120a}[/tex]

Теперь, умножим полученные результаты:

[tex](\cos{40a} - \cos{60a})(\cos{20a} - \cos{120a})[/tex]

Раскроем скобки:

[tex]\cos{40a}\cos{20a} - \cos{40a}\cos{120a} - \cos{60a}\cos{20a} + \cos{60a}\cos{120a}[/tex]

Теперь найдем значения косинусов углов 40a, 20a, 60a и 120a:

[tex]\cos{40a} = \cos{(60a - 20a)} = \cos{60a}\cos{20a} + \sin{60a}\sin{20a}[/tex]

[tex]\cos{20a} = \cos{20a}[/tex]

[tex]\cos{60a} = \cos{\left(90a - 30a\right)} = \cos{90a}\cos{30a} + \sin{90a}\sin{30a} = \sin{30a}[/tex]

[tex]\cos{120a} = \cos{\left(180a - 60a\right)} = \cos{180a}\cos{60a} + \sin{180a}\sin{60a} = -\cos{60a}[/tex]

Подставим полученные значения:

[tex]\sin{60a}\cos{20a} + \cos{20a} - \sin{30a}\cos{20a} - \sin{30a}\cos{60a} = \sin{60a}\cos{20a} - \sin{30a}\cos{20a} - \sin{30a}\sin{60a}[/tex]

Сгруппируем слагаемые:

[tex](\sin{60a} - \sin{30a})\cos{20a} - \sin{30a}\sin{60a}[/tex]

Преобразуем выражение [tex]\sin{60a} - \sin{30a}[/tex]:

[tex]\sin{60a} - \sin{30a} = 2\cos{45a}\sin{15a}[/tex]

Теперь подставим обратно:

[tex]2\cos{45a}\sin{15a}\cos{20a} - \sin{30a}\sin{60a}[/tex]

Далее мы можем воспользоваться формулой синуса разности:

[tex]\sin{(a - b)} = \sin{a}\cos{b} - \cos{a}\sin{b}[/tex]

И получим:

[tex]2\cos{45a}(\sin{15a}\cos{20a} - \cos{15a}\sin{20a}) - \sin{30a}*\sin{60a}[/tex]

Продолжим преобразования:

[tex]2\cos{45a}\sin{(15a - 20a)} - \sin{30a}\sin{60a} = 2\cos{45a}\sin{-5a} - \sin{30a}\sin{60a}[/tex]

[tex]2\cos{45a}\sin{-5a} - \sin{30a}\sin{60a} = 2\cos{45a}\sin{5a} - \sin{30a}\sin{60a}[/tex]

Теперь рассмотрим выражение [tex]\cos{45a}*\sin{5a}[/tex]:

[tex]\cos{45a}\sin{5a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}*(\sin{50a} - \sin{40a})[/tex]

Рассмотрим выражение [tex]\sin{30a}*\sin{60a}[/tex]:

[tex]\sin{30a}\sin{60a} = \frac{1}{2}(\cos{30a} - \cos{90a})[/tex]

Подставим значения:

[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}(\sin{50a} - \sin{40a}) - \frac{1}{2}*(\cos{30a} - \cos{90a})[/tex]

Упростим:

[tex]\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin{50a} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\sin{40a} - \frac{1}{4}*\cos{30a} + \frac{1}{4}[/tex]

Подведем итог:

[tex]\frac{1}{4}\left(\sin{50a} - \sin{40a} - 2\cos{30a} + \sqrt{2}\right)[/tex]