Дан угол ϕ между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра, и дана длина диагонали развёртки боковой поверхности b.
Определи площадь полной поверхности цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам нужно знать радиус цилиндра R.

Известно, что диагональ b развёртки боковой поверхности цилиндра образует прямой угол с обеими диагоналями.

Тогда мы можем найти радиус цилиндра, используя построенный прямоугольный треугольник, в котором сторона равна R, катеты равны Rcos(ϕ) и Rsin(ϕ).

Используя теорему Пифагора, получим:
(Rcos(ϕ))^2 + (Rsin(ϕ))^2 = b^2
R^2(cos^2(ϕ) + sin^2(ϕ)) = b^2
R^2 = b^2
R = b

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:
Sбок = 2πRh = 2πb*h

Так как у нас есть угол между диагоналями развёртки, то можем найти высоту цилиндра по формуле:
h = b*tan(ϕ)

Таким образом, получаем:
Sбок = 2πbbtan(ϕ) = 2πb^2*tan(ϕ)

Теперь можем найти площадь полной поверхности цилиндра, добавив к боковой поверхности площадь двух оснований:
Sполн = Sбок + 2πR^2 = 2πb^2*tan(ϕ) + 2πb^2 = 2πb^2(1 + tan(ϕ))