Решить диференциальное уравнение y'+уcosx=cosx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения используем метод интегрирующего множителя. Умножим обе части уравнения на множитель e^(∫cosx dx), получим:

e^(∫cosx dx) y' + e^(∫cosx dx) y cosx = e^(∫cosx dx) cosx

Теперь заметим, что левая часть является производной от произведения e^(∫cosx dx) и y, так как (e^(∫cosx dx) y)' = e^(∫cosx dx) y' + e^(∫cosx dx) y cosx. Поэтому у нас получается:

(e^(∫cosx dx) y)' = e^(∫cosx dx) cosx

Далее интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫(e^(∫cosx dx) y)' dx = ∫e^(∫cosx dx) cosx dx

e^(∫cosx dx) y = ∫e^(∫cosx dx) cosx dx + C

где C - константа интегрирования. Теперь найдем интеграл ∫e^(∫cosx dx) * cosx dx, используя метод интегрирования по частям:

u = e^(∫cosx dx), dv = cosx dx
du = e^(∫cosx dx) * cosx dx, v = sinx

∫e^(∫cosx dx) cosx dx = e^(∫cosx dx) sinx - ∫sinx * e^(∫cosx dx) dx

Подставляем это обратно в уравнение:

e^(∫cosx dx) y = e^(∫cosx dx) sinx - ∫sinx * e^(∫cosx dx) dx + C

y = sinx - ∫sinx e^(∫cosx dx) dx + C e^(-∫cosx dx)

Таким образом, решение дифференциального уравнения y' + y cosx = cosx будет выглядеть как y = sinx - ∫sinx e^(∫cosx dx) dx + C * e^(-∫cosx dx), где C - произвольная константа.