Решить пример (x^3 - 2xy^2 - 3x^2y + 7y^3) / (x^3 - 2y^3) , если (x^2 + y*(3x + 11y)) / (xy + 2y^2) = 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем значение выражения (x^2 + y(3x + 11y)) / (xy + 2y^2), представляющего собой уравнение:
(x^2 + y(3x + 11y)) / (xy + 2y^2) = (x^2 + 3xy + 11y^2) / (y(x + 2y))

Так как дано, что результат этого выражения равен 5, можно записать уравнение:
(x^2 + 3xy + 11y^2) / (y(x + 2y)) = 5

Умножим обе стороны уравнения на y(x + 2y):
x^2 + 3xy + 11y^2 = 5y(x + 2y)
x^2 + 3xy + 11y^2 = 5xy + 10y^2

Подставим в данное уравнение первоначальное уравнение и предложим соответсвующую задачу:
5xy + 10y^2 = 5
xy + 2y^2 = 1

Таким образом наше уравнение свелось к системе:
x^3 - 2xy^2 - 3x^2y + 7y^3 = (x^3 - 2y^3) * 5
xy + 2y^2 = 1

Произведем упрощение первого уравнения:
x^3 - 2xy^2 - 3x^2y + 7y^3 = 5x^3 - 10y^3
-3x^2y + 7y^3 = 4x^3 - 10y^3
-3x^2 + 7y = 4x - 10y

Подставим в уравнение xy + 2y^2 = 1:
xy + 2y^2 = 1
(4x - 10y)y + 2y^2 = 1
4xy - 10y^2 + 2y^2 = 1
4xy - 8y^2 = 1

Решим полученное уравнение:
4xy - 8y^2 = 1
4xy = 1 + 8y^2
x = (1 + 8y^2) / 4y
x = (1/4)y + 2y

Таким образом, получили систему уравнений:
x = (1/4)y + 2y
-3x^2 + 7y = 4x - 10y

Подставим x из первого уравнения во второе:
-3((1/4)y + 2y)^2 + 7y = 4((1/4)y + 2y) - 10y
-3((1/16)y^2 + 1/2y + 4y^2) + 7y = 1/4y + 8y - 10y
-3(17/16y^2 + 1/2y) + 7y = -19/4y
-51/16y^2 - 3/2y + 7y = -19/4y
-51y^2 - 24y + 112y = -19
-51y^2 + 88y + 19 = 0

Решая квадратное уравнение, получим:
y = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
y = (-88 ± sqrt(88^2 - 4(-51)19)) / 2*(-51)
y = (-88 ± sqrt(7744 + 3876)) / -102
y = (-88 ± sqrt(11620)) / -102
y = (-88 ± 107.8) / -102

y1 = (-88 + 107.8) / -102
y1 = 19.8 / -102
y1 ≈ -0.194
y2 = (-88 - 107.8) / -102
y2 = -195.8 / -102
y2 ≈ 1.919

Теперь найдем x, используя найденные значения y и первое уравнение системы:
x = (1/4)y + 2y
x = (1/4)(-0.194) + 2(-0.194)
x = -0.0485 - 0.388
x ≈ -0.436
x = (1/4)(1.919) + 2(1.919)
x = 0.47975 + 3.838
x ≈ 4.317

Таким образом, найденные значения:
x1 ≈ -0.436, y1 ≈ -0.194
x2 ≈ 4.317, y2 ≈ 1.919