Найдите количество значений k При которых прямая y=kx+2 и гипербола y=1/x Имеет единственное общую точку

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Прямая y=kx+2 и гипербола y=1/x пересекаются в точке, если их уравнения имеют общее решение. То есть, если можно найти такие значения x и y, что они удовлетворяют оба уравнения.

Подставляем уравнения прямой и гиперболы друг в друга:

kx + 2 = 1/x

kx^2 + 2x = 1

kx^2 + 2x - 1 = 0

Теперь решаем это квадратное уравнение относительно x:

D = 2^2 - 4k(-1) = 4 + 4k
x = (-2 ± √(4 + 4k)) / 2k

Для того, чтобы существовала одна общая точка, дискриминант должен быть равен нулю (для того, чтобы получить один корень):

4 + 4k = 0
4k = -4
k = -1

Следовательно, существует ровно одно значение k = -1, при котором прямая y=kx+2 и гипербола y=1/x имеют единственную общую точку.