Данное уравнение является квадратным уравнением. Для его решения можно воспользоваться методом замены переменной. Обозначим (y = x^2), тогда уравнение примет вид:

[4y - 2x - 1 = 0]

Это уравнение уже линейное и его можно решить. Решим его:

[4y - 2x - 1 = 0]
[4y = 2x + 1]
[y = \frac{2x + 1}{4}]

Теперь заменим (y) обратно на (x^2):

[x^2 = \frac{2x + 1}{4}]
[4x^2 = 2x + 1]
[4x^2 - 2x - 1 = 0]

Это уже квадратное уравнение, которое можно решить, например, с помощью дискриминанта:

[D = (-2)^2 - 4 4 (-1) = 4 + 16 = 20]

[x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}]

Итак, решением уравнения (4x^4 - 2x^2 - 1 = 0) являются два корня: (x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}) и (x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}).