Найдите все целые значения, которые может принимать дробь 12n+109/3n+8 при натуральных значениях n. В ответ запишите сумму найденных значений.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти все целые значения, которые может принимать дробь (12n+109)/(3n+8) при натуральных значениях n, нужно разложить дробь на целую часть и дробную:

(12n+109)/(3n+8) = 4 + (97)/(3n+8)

Поскольку мы ищем целые значения, значение дробной части должно быть меньше единицы. Поэтому нам нужно найти такие значения n, при которых 97 < 3n+8.

97 < 3n + 8
89 < 3n
n > 29.6666666667

Так как n - натуральное число, то n ≥ 30. Проверим значения n = 30, 31, 32,...
При n = 30: (1230+109)/(330+8) = 349/98 ≈ 3.561
При n = 31: (1231+109)/(331+8) = 361/101 ≈ 3.57
При n = 32: (1232+109)/(332+8) = 373/104 ≈ 3.59

Таким образом, наибольшее целое значение, которое может принимать дробь при натуральных значениях n, равно 3. Сумма всех найденных значений равна 3.

Ответ: 3.