Найдите наибольшее и наименьшее значение функции а) f(x)=3x^2-2x^3 на отрезке (-1;2) б) f(x)=x^3-6x^2+1 на отрезке (-2;1). в) f(x)=5sin+cos2x на отрезке (0;pi)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 на отрезке (-1;2) находим значение в крайних точках и точках экстремума:
f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = 3 + 2 = 5
f(2) = 3(2)^2 - 2(2)^3 = 12 - 16 = -4

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции:
f'(x) = 6x - 6x^2
Приравниваем производную к нулю:
6x - 6x^2 = 0
6x(1 - x) = 0
Тогда x = 0 или x = 1

Подставляем найденные значения в функцию:
f(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0
f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 1

Минимум функции на отрезке (-1;2): -4
Максимум функции на отрезке (-1;2): 5

б) Для функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 1 на отрезке (-2;1) находим значение в крайних точках и точках экстремума:
f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 1 = -8 - 24 + 1 = -31
f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4

Найдем производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 12x
Приравниваем производную к нулю:
3x^2 - 12x = 0
3x(x - 4) = 0
Тогда x = 0 или x = 4

Подставляем найденные значения в функцию:
f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 1 = 1
f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 1 = 64 - 96 + 1 = -31

Минимум функции на отрезке (-2;1): -31
Максимум функции на отрезке (-2;1): 1

в) Для функции f(x) = 5sin(x) + cos(2x) на отрезке (0;π) находим значение в крайних точках и точках экстремума:
f(0) = 5sin(0) + cos(20) = 0 + 1 = 1
f(π) = 5sin(π) + cos(2π) = 0 + 1 = 1

Функция sin(x) и cos(2x) периодические, чтобы найти точки экстремума, нужно найти нули производной функции:
f'(x) = 5cos(x) - 2sin(2x)

Уравнения f'(x) = 0:
5cos(x) - 2sin(2x) = 0

Решение данного уравнения найти аналитически сложно, но можно использовать численные методы для его решения.