Определить сходимость/расходимость ряда (ln n)/n^7. С решением.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения сходимости или расходимости ряда ( \frac{\ln n}{n^7} ) воспользуемся признаком Даламбера.

Вычислим предел отношения последующего члена к текущему:

[ \lim{n \to \infty} \frac{a{n+1}}{an} = \lim{n \to \infty} \frac{\frac{\ln(n+1)}{(n+1)^7}}{\frac{\ln n}{n^7}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1) \cdot n^7}{\ln n \cdot (n+1)^7} ]

Преобразуем дробь:

[ \frac{(n+1)^7}{n^7} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^7 = 1 + \frac{7}{n} + \text{слагаемые меньшего порядка} ]

Получаем:

[ \lim{n \to \infty} \frac{\ln(n+1) \cdot n^7}{\ln n \cdot (n+1)^7} = \lim{n \to \infty} \ln(n+1) \cdot \left(1 + \frac{7}{n} + \text{слагаемые меньшего порядка}\right) = \infty ]

Так как предел отношения последующего члена к текущему больше 1, то ряд расходится.