Часть 1-го сорта в некоторой продукции в среднем составляет 80%. Сколько экземпляров этой продукции нужно взять, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что в партии будет не менее 75 экземпляров 1-го сорта?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой Чебышёва:
[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} ]
где ( X ) - случайная величина (количество экземпляров 1-го сорта), ( \mu ) - математическое ожидание, ( \sigma ) - среднеквадратичное отклонение.

Мы знаем, что среднее количество 1-го сорта равно 80% от общего количества продукции, т.е. ( \mu = 0.8N ), где ( N ) - общее количество продукции.

Также мы знаем, что отклонение составляет не более 20%, т.е. ( \sigma = 0.2N ).

Подставляем данные в формулу и находим значение k:
[ P(|X - 0.8N| \geq k \cdot 0.2N) \leq \frac{1}{k^2} ]
[ P(|X - 0.8N| \geq 0.2kN) \leq \frac{1}{k^2} ]

Так как мы хотим утверждать, что в партии будет не менее 75 экземпляров 1-го сорта, то ( |X - 0.8N| \geq 0.2kN \leq 0.05N ).
[ P(|X - 0.8N| \geq 0.05N) \leq \frac{1}{k^2} ]

Для вероятности 0.9 имеем:
[ 0.1 \leq \frac{1}{k^2} ]
[ k \leq \sqrt{10} \approx 3.16 ]

Таким образом, нужно взять ( k = 4 ) (для большей уверенности) экземпляра продукции.