Дан треугольник ABC и H — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть D — середина отрезка BC, E — середина отрезка АС. Кроме того, медианы треугольника AED пересекаются в точке H. Найдите градусную меру угла ∠ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем свойство медиан треугольника: медиана треугольника делит сторону пополам и соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Так как H — точка пересечения медиан треугольника AED, то AH = 2HD (медиана делит сторону пополам).

Также из условия известно, что AE = EC.

Так как H — точка пересечения высот треугольника ABC, то AH и HD — высоты треугольника ADE.

Из свойства треугольника прямоугольников следует, что AH^2 + HD^2 = AD^2.

Так как AH = 2HD, то это равенство можно переписать как 4HD^2 + HD^2 = AD^2.

Получаем 5HD^2 = AD^2.

Так как D — середина отрезка BC, то BD = CD. Из этого следует, что треугольник BDC — прямоугольный.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и BDC.

Угол ABC это сумма углов ABD и DBC, то есть это сумма углов ABD и DBC.

Из того, что угол DBC = 90 градусов, углов DBC и ABD и равнобедренности треугольников ABH и AHC, получаем:

90 + ∠AHD + ∠AHC = 180.

∠AHD + ∠AHC = 90.

Так как ∠AHD + ∠AHC + ∠ADC = 180, то ∠ADC = 90.

Из этого следует, что треугольник ADE — прямоугольный, и мы можем записать AD^2 = AE^2 + DE^2.

Так как AE = EC, то AE^2 = 4HD^2.

Подставляем в предыдущее равенство: 5HD^2 = 4HD^2 + DE^2.

DE^2 = HD^2.

Из полученных равенств видно, что треугольник ADE — равнобедренный.

Следовательно, ∠AED = ∠ADE = 45.

Тогда ∠ABC = 2 * 45 = 90.

Ответ: ∠ABC = 90.