Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.
База индукции (n = 1):Подставим n = 1 в обе части равенства:1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) (-3).1 = 1/5 1 0 1 2 3.1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) * (-3).1 = 1.Равенство выполняется при n = 1.
Предположение индукции:Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, т.е.1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) = 1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4).
Шаг индукции:Докажем, что при n = k + 1 равенство также выполняется:1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + (k+1)k(k-1)(k-2) = 1/5 * (k+1)k(k-1)(k-2)(k-3).
Разделим обе части данного равенства на 5:1/5 (1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3)) = 1/5 k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)
Тогда, согласно предположению индукции:LHS = RHS.
Таким образом, равенство выполняется для любого натурального n.
Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.
База индукции (n = 1):
Подставим n = 1 в обе части равенства:
1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) (-3).
1 = 1/5 1 0 1 2 3.
1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) * (-3).
1 = 1.
Равенство выполняется при n = 1.
Предположение индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, т.е.
1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) = 1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4).
Шаг индукции:
Докажем, что при n = k + 1 равенство также выполняется:
1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + (k+1)k(k-1)(k-2) = 1/5 * (k+1)k(k-1)(k-2)(k-3).
Разделим обе части данного равенства на 5:
1/5 (1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3)) = 1/5 k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)
Тогда, согласно предположению индукции:
LHS = RHS.
Таким образом, равенство выполняется для любого натурального n.