Докажите что для любого натурального n справедливо равенство 1*2*3*4+2*3*4*5... n(n 1)(n 2)(n 3)=1/5n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.

База индукции (n = 1):
Подставим n = 1 в обе части равенства:
1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) (-3).
1 = 1/5 1 0 1 2 3.
1 = 1/5 1 0 (-1) (-2) * (-3).
1 = 1.
Равенство выполняется при n = 1.

Предположение индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, т.е.
1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) = 1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4).

Шаг индукции:
Докажем, что при n = k + 1 равенство также выполняется:
1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + (k+1)k(k-1)(k-2) = 1/5 * (k+1)k(k-1)(k-2)(k-3).

Разделим обе части данного равенства на 5:
1/5 (1234 + 2345 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3)) = 1/5 k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)

Тогда, согласно предположению индукции:
LHS = RHS.

Таким образом, равенство выполняется для любого натурального n.