Нахождение области определения функции: Функция определена для всех значений переменной x, кроме x=0 (так как в знаменателе появляется деление на ноль). Таким образом, область определения функции f(x) = 3x - 1/x составляет множество всех вещественных чисел, кроме нуля: D(f) = R{0}.
Нахождение точек пересечения с осями координат: Для найти точки пересечения с осью OX (точки, в которых значение функции равно нулю), необходимо решить уравнение f(x) = 0: 3x - 1/x = 0 3x^2 - 1 = 0 3x^2 = 1 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3) Таким образом, точками пересечения с осью OX являются точки (√(1/3), 0) и (-√(1/3), 0).
Нахождение точек пересечения с осями симметрии: Функция f(x) = 3x - 1/x обладает осью симметрии OY, так как является нечетной функцией. То есть, функция симметрична относительно оси OY.
Исследование функции на возрастание и убывание: Для определения интервалов, на которых функция возрастает или убывает, найдем производную функции f'(x): f'(x) = 3 + 1/x^2 Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: 3 + 1/x^2 = 0 1/x^2 = -3 x^2 = -1/3 Уравнение не имеет решения в действительных числах, что означает, что экстремумов у функции нет. Значит, функция f(x) = 3x - 1/x возрастает на всей области определения.
Нахождение пределов функции: Найдем пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности: lim(x->+∞) f(x) = lim(x->+∞) (3x - 1/x) = +∞ lim(x->-∞) f(x) = lim(x->-∞) (3x - 1/x) = -∞
Итак, мы рассмотрели основные характеристики функции f(x) = 3x - 1/x исследовали её поведение.
Дана функция f(x) = 3x - 1/x.
Нахождение области определения функции:
Функция определена для всех значений переменной x, кроме x=0 (так как в знаменателе появляется деление на ноль). Таким образом, область определения функции f(x) = 3x - 1/x составляет множество всех вещественных чисел, кроме нуля: D(f) = R{0}.
Нахождение точек пересечения с осями координат:
Для найти точки пересечения с осью OX (точки, в которых значение функции равно нулю), необходимо решить уравнение f(x) = 0:
3x - 1/x = 0
3x^2 - 1 = 0
3x^2 = 1
x^2 = 1/3
x = ±√(1/3)
Таким образом, точками пересечения с осью OX являются точки (√(1/3), 0) и (-√(1/3), 0).
Нахождение точек пересечения с осями симметрии:
Функция f(x) = 3x - 1/x обладает осью симметрии OY, так как является нечетной функцией. То есть, функция симметрична относительно оси OY.
Исследование функции на возрастание и убывание:
Для определения интервалов, на которых функция возрастает или убывает, найдем производную функции f'(x):
f'(x) = 3 + 1/x^2
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
3 + 1/x^2 = 0
1/x^2 = -3
x^2 = -1/3
Уравнение не имеет решения в действительных числах, что означает, что экстремумов у функции нет. Значит, функция f(x) = 3x - 1/x возрастает на всей области определения.
Нахождение пределов функции:
Найдем пределы функции при x стремящемся к плюс и минус бесконечности:
lim(x->+∞) f(x) = lim(x->+∞) (3x - 1/x) = +∞
lim(x->-∞) f(x) = lim(x->-∞) (3x - 1/x) = -∞
Итак, мы рассмотрели основные характеристики функции f(x) = 3x - 1/x исследовали её поведение.