Доказать, что для любых точек A, B, C, D пространства верно, что сумма произведений векторов BC*AD+CA*BD+AВ*CD равна нулю.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. Смешанным произведением векторов ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) называется число, которое равно скалярному произведению вектора ( \vec{a} ) на векторное произведение ( \vec{b} ) и ( \vec{c} ), то есть ( (\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c}) ).

Имеем выражение:
[ BC \times AD + CA \times BD + AB \times CD ]

Применим свойство смешанного произведения:
[ (\vec{BC} \times \vec{AD}, \vec{CA}) + (\vec{CA} \times \vec{BD}, \vec{AB}) + (\vec{AB} \times \vec{CD}, \vec{BC}) ]

Заметим, что у вектора ( \vec{BC} \times \vec{AD} ) и у вектора ( \vec{AD} \times \vec{BC} ) одинаковая длина и направление, но противоположный знак, то же самое с векторами ( \vec{CA} \times \vec{BD} ) и ( \vec{BD} \times \vec{CA} ), а также с ( \vec{AB} \times \vec{CD} ) и ( \vec{CD} \times \vec{AB} ). Таким образом, каждое из смешанных произведений равно нулю.

Следовательно,
[ BC \times AD + CA \times BD + AB \times CD = 0 ]

Таким образом, мы доказали, что сумма произведений векторов ( BC \times AD + CA \times BD + AB \times CD ) равна нулю для любых точек ( A, B, C, D ) пространства.