Найти общее частное решение дифференциальных уравнений.
1) [tex]\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} =0[/tex]
2) [tex](1+x^{2} )y^{3} dx-(y^{2} -1)x^{3} dy=0[/tex] [tex](x=0)(y=\frac{\pi }{4} )[/tex]
Хотя бы одно уравнение плеаз.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1)
Разделим обе части уравнения на y:
[tex]\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{x+1} = 0[/tex]

Это уравнение можно представить в виде:
[tex]\frac{1}{y} dy = \frac{2}{x+1} dx[/tex]

Интегрируя обе части, получаем:
[tex]\ln|y| = 2\ln|x+1| + C[/tex]
[tex]\ln|y| = \ln(x+1)^2 + C[/tex]
[tex]y = Ae^{(x+1)^2}[/tex]
где A - произвольная постоянная.

2)
Разделим обе части уравнения на [tex]x^{3} y^{3}[/tex]:
[tex]\frac{(1+x^{2})}{x^{3}y^{3}}dx - \frac{(y^{2}-1)}{x^{3}y^{3}}dy=0[/tex]

Заметим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решим его:
[tex]d(\frac{-1}{2x^{2}y^{2}}(y^{2}-1))=d(\frac{y^{2}-1}{2x^{2}y^{2}})=d(\ln|y^{2}-1|y^{-2})=0[/tex]

Интегрируем это:
[tex]\ln|y^{2}-1|y^{-2}=C[/tex]

Подставляя начальные условия [tex](x=0, y=\frac{\pi}{4})[/tex], найдем константу C:
[tex]\ln|(\frac{\pi}{4})^{2}-1|(\frac{\pi}{4})^{-2}=\ln|(\frac{\pi^{2}}{16}-1)|(\frac{16}{\pi^{2}})=C[/tex]

Таким образом, общим решением уравнения является:
[tex]\ln|y^{2}-1|y^{-2}=\ln|(\frac{\pi^{2}}{16}-1)|(\frac{16}{\pi^{2}})[/tex]