При каких целых n значение выражения (n-3)^2/n^2 является целым числом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Это выражени
[\frac{(n-3)^2}{n^2}
может быть целым числом, только если числитель делится на знаменатель без остатка
Раскроем скобки в числителе
[(n-3)^2 = n^2 - 6n + 9
Теперь выразим это в виде дроби
[\frac{n^2 - 6n + 9}{n^2}
Это равно значит, чт
нам нужно, чтобы $n^2-6n+9$ был кратен $n^2$
То есть, чтобы $n^2-6n+9 = kn^2$
Решим это уравнение и найдем $n$
[n^2 - 6n + 9 = kn^

[(1 - k)n^2 - 6n + 9 =

[n^2 - \frac{6}{1-k}n + \frac{9}{1-k} =

Дискриминант этого квадратного уравнения равен $(-\frac{6}{1-k})^2 - 4\frac{9}{1-k} = \frac{36}{(k-1)^2}-\frac{36}{k-1} = \frac{36(1-k)}{(k-1)^2}
Для того, чтобы дискриминант был квадратом целого числа, нужно, чтобы $\frac{36(1-k)}{(k-1)^2}$ был полным квадратом
Отсюда получаем, что $1-k > 0$ (так как дискриминант не может быть отрицательным), следовательно, $k<1
следовательно, возьмем $k=0$, получаем
[n^2 - 6n + 9 =

[(n-3)^2 =

[n =

Таким образом, единственным целым n, при котором заданное выражение является целым числом, является 3.