Даны вершины треугольника АВС . Требуется найти :
а)косинус внутреннего угла при указанной вершине треугольника
б) площадь треугольника АВС
А ( 3, -1, 2) В (-1, 2, 0 ) С (0, 4, 5) , угол при С.
Подробный ответ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения косинуса внутреннего угла при вершине C в треугольнике ABC, мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:
cos(∠ACB) = (AC • BC) / (|AC| * |BC|),

где AC и BC - векторы, проведенные из вершины С к вершинам А и В соответственно, • - скалярное произведение векторов, а |AC| и |BC| - их длины.
Для начала найдем вектора AC и BC:
AC = С - A = (0 - 3, 4 - (-1), 5 - 2) = (-3, 5, 3),
BC = С - B = (0 - (-1), 4 - 2, 5 - 0) = (1, 2, 5).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BC:
AC • BC = -31 + 52 + 3*5 = -3 + 10 + 15 = 22.

И найдем длины векторов AC и BC:
|AC| = √((-3)^2 + 5^2 + 3^2) = √(9 + 25 + 9) = √43,
|BC| = √(1^2 + 2^2 + 5^2) = √(1 + 4 + 25) = √30.

Теперь можем найти косинус угла ∠ACB:
cos(∠ACB) = 22 / (√43 * √30) ≈ 0.750.

б) Чтобы найти площадь треугольника ABC, можно воспользоваться формулой площади треугольника через координаты вершин:
S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)|,

где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты вершин треугольника.
Для треугольника ABC:
S = 0.5 |(3 - (-1))(4 - (-1)) - (-1 - 3)(0 - (-1))| = 0.5 |4 * 5 + 4| = 10.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 10 единиц квадратных.