Даны положительные числа a>b. Можно ли утверждать, что [tex]\sqrt{a+\sqrt[4]{b}}\ \textgreater \ \sqrt{b+\sqrt[4]{a}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, можно. Докажем это.

Пусть [tex]x = \sqrt{a+\sqrt[4]{b}}[/tex] и [tex]y = \sqrt{b+\sqrt[4]{a}}[/tex].

Возведем обе части неравенства в квадрат:

[tex]x^2 = a + \sqrt[4]{b}[/tex] и [tex]y^2 = b + \sqrt[4]{a}[/tex].

Так как [tex]a > b[/tex], то [tex]\sqrt[4]{a} > \sqrt[4]{b}[/tex].

Значит, [tex]x^2 = a + \sqrt[4]{b} > b + \sqrt[4]{b} = y^2[/tex].

Таким образом, мы доказали, что [tex]x^2 > y^2[/tex], что влечет за собой [tex]x > y[/tex].