Турнир по волейболу 12 командным прошёл в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой ровно один раз). Докажите что можно выбрать три команды так, что каждый оставшихся из 9 проиграла хотя бы одной из этих трёх. Ничьих в волейболе не бывает.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что нет таких трех команд, что каждая из оставшихся 9 проиграла хотя бы одной из этих трех. Рассмотрим какую-то команду A из оставшихся 9. Она обязана была выиграть все 9 матчей, в которых участвовала, так как по условию у неё нет поражений от трех каких-то команд. Рассмотрим теперь одну из этих 9 команд, назовем её B. Она также должна была выиграть все 8 матчей, в которых участвовала, в том числе и матч с командой A. Продолжая эту логику, если рассмотреть все 9 команд, мы придем к противоречию: все они должны были выиграть все свои матчи, что невозможно (так как в каждом матче одна команда выигрывает, а другая проигрывает). Таким образом, предположение о том, что трех команд, у которых оставшиеся 9 проиграли бы хотя бы одной из этих трех, неверно.