Вычислите sin18 cos54 умножая и деля на подходящее тригонометрическое выражение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим:

[\sin 18° \cos 54° = \frac{1}{2} (\sin 18° + \cos 54°) - \frac{1}{2} (\sin 18° - \cos 54°)]

Далее, воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

[\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta]

[\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta]

Таким образом:

[= \frac{1}{2} (\sin 18° \cos 54° + \cos 18° \sin 54°) - \frac{1}{2} (\sin 18° \cos 54° - \cos 18° \sin 54°)]

[= \frac{1}{2} (\sin 72°) - \frac{1}{2} (\cos 36°)]

Теперь рассмотрим:

[\sin 72° = \sin (2 \cdot 36°) = 2 \sin 36° \cos 36°]

[= 2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}]

[\cos 36° = \cos (54° - 18°) = \cos 54° \cos 18° + \sin 54° \sin 18°]

[= \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]

Таким образом:

[= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = -\frac{1}{2}]

Итого, (\sin 18° \cos 54° = -\frac{1}{2}).