Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Дана функция z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближѐнное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции еѐ дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
z=7x+8y-xy, A(5,3), B(4,98;3,03)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Значение z1 в точке B(4,98;3,03):
z1 = 74,98 + 83,03 - 4,98*3,03 = 34,86 + 24,24 - 15,09 = 44,01

2) Приближенное значение z1 с использованием дифференциала:
dz = ∂z/∂xdx + ∂z/∂ydy
∂z/∂x = 7 - y0 = 7 - 3 = 4
∂z/∂y = 8 - x0 = 8 - 5 = 3
dx = x1 - x0 = 4,98 - 5 = -0,02
dy = y1 - y0 = 3,03 - 3 = 0,03

Тогда dz = 4(-0,02) + 30,03 = -0,08 + 0,09 = 0,01
z1 = z0 + dz = z0 + ∂z/∂xdx + ∂z/∂ydy = z0 + dz = 34,41 + 0,01 = 34,42

3) Оценка относительной погрешности:
Δz = |z1 - z0| = |44,01 - 34,42| = 9,59
Δz_rel = Δz/z1 100% = 9,59/44,01 100% ≈ 21,8%

4) Уравнение касательной плоскости в точке C(5,3,34,41):
Уравнение касательной плоскости имеет вид:
z - z0 = ∂z/∂x(x - x0) + ∂z/∂y(y - y0)
z - 34,41 = 4(x - 5) + 3(y - 3)
z - 34,41 = 4x - 20 + 3y - 9
z = 4x + 3y - 44,41