Решите неравенство 6x-12=x^2|x-2|

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Нам дано неравенство: 6x - 12 = x^2|x - 2|.

Для начала разберёмся с модулем. Поскольку выражение в модуле |x - 2| может быть положительным или равным нулю, мы можем рассмотреть два случая:

1) x - 2 > 0: это означает x > 2. В этом случае модуль |x - 2| просто равен x - 2.

2) x - 2 < 0: это означает x < 2. В этом случае модуль |x - 2| равен -(x - 2) = 2 - x.

Подставим оба случая в исходное неравенство:

1) x > 2:
6x - 12 = x^2(x - 2)
6x - 12 = x^3 - 2x^2
x^3 - 2x^2 - 6x + 12 = 0
x^2(x - 2) - 6(x - 2) = 0
(x - 2)(x^2 - 6) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = √6 (положительный корень).

2) x < 2:
6x - 12 = x^2(2 - x)
6x - 12 = 2x^2 - x^3
x^3 - 2x^2 + 6x - 12 = 0
x^2(x - 2) + 6(x - 2) = 0
(x - 2)(x^2 + 6) = 0

Здесь у нас корень x = 2.

Итак, решения неравенства 6x - 12 = x^2|x - 2|: x = 2 и x = √6.