Для начала приведем дроби к общему знаменателю:
[tex]\frac{4x}{x^{2}+x+3} +\frac{5x}{x^{2}-5x+3} = \frac{4x(x^2-5x+3) + 5x(x^2+x+3)}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
[tex]\frac{4x^3 - 20x^2 + 12x + 5x^3 + 5x^2 + 15x}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\frac{9x^3 - 5x^2 + 27x}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
Домножим обе части на знаменатель:
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^4 - 4x^2 + 3x + x^3 - 5x^2 + 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3}{2}(-x^4 + 4x^2 - 3x - x^3 + 5x^2 - 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3x^4}{2} - 6x^2 + \frac{9x}{2} - \frac{3x^3}{2} + \frac{15x^2}{2} - \frac{9x}{2}[/tex]
Теперь приведем подобные слагаемые:
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3x^4}{2} - \frac{3x^3}{2} + \frac{9x^2}{2} + \frac{9x}{2}[/tex]
[tex]\frac{3x^4}{2} - \frac{3x^3}{2} - 9x^3 + 9x^2 - 5x^2 - 27x + 9x = 0[/tex]
[tex]\frac{3x^4 - 3x^3 - 18x^3 + 18x^2 - 5x^2 - 36x + 18x}{2} = 0[/tex]
[tex]\frac{3x^4 - 21x^3 + 13x^2 - 18x}{2} = 0[/tex]
[tex]3x^4 - 21x^3 + 13x^2 - 18x = 0[/tex]
[tex]3x(x^3 - 7x^2 + 13x - 6) = 0[/tex]
[tex]3x(x-1)(x^2 - 6x + 6) = 0[/tex]
Решим уравнения:
[tex]x = 0[/tex]
[tex]x = 1[/tex]
[tex]x^2 - 6x + 6 = 0[/tex]
Это квадратное уравнение имеет два различных корня:
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]x = 3 \pm \sqrt{3}[/tex]
Таким образом, решения уравнения: [tex]x = 0, x = 1, x = 3 + \sqrt{3}, x = 3 - \sqrt{3}[/tex].
Для начала приведем дроби к общему знаменателю:
[tex]\frac{4x}{x^{2}+x+3} +\frac{5x}{x^{2}-5x+3} = \frac{4x(x^2-5x+3) + 5x(x^2+x+3)}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
[tex]\frac{4x^3 - 20x^2 + 12x + 5x^3 + 5x^2 + 15x}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\frac{9x^3 - 5x^2 + 27x}{(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)} = -\frac{3}{2}[/tex]
Домножим обе части на знаменатель:
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^{2}+x+3)(x^2-5x+3)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^4 - 4x^2 + 3x + x^3 - 5x^2 + 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^4 - 4x^2 + 3x + x^3 - 5x^2 + 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = -\frac{3}{2}(x^4 - 4x^2 + 3x + x^3 - 5x^2 + 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3}{2}(-x^4 + 4x^2 - 3x - x^3 + 5x^2 - 3x)[/tex]
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3x^4}{2} - 6x^2 + \frac{9x}{2} - \frac{3x^3}{2} + \frac{15x^2}{2} - \frac{9x}{2}[/tex]
Теперь приведем подобные слагаемые:
[tex]9x^3 - 5x^2 + 27x = \frac{3x^4}{2} - \frac{3x^3}{2} + \frac{9x^2}{2} + \frac{9x}{2}[/tex]
[tex]\frac{3x^4}{2} - \frac{3x^3}{2} - 9x^3 + 9x^2 - 5x^2 - 27x + 9x = 0[/tex]
[tex]\frac{3x^4 - 3x^3 - 18x^3 + 18x^2 - 5x^2 - 36x + 18x}{2} = 0[/tex]
[tex]\frac{3x^4 - 21x^3 + 13x^2 - 18x}{2} = 0[/tex]
[tex]3x^4 - 21x^3 + 13x^2 - 18x = 0[/tex]
[tex]3x(x^3 - 7x^2 + 13x - 6) = 0[/tex]
[tex]3x(x-1)(x^2 - 6x + 6) = 0[/tex]
Решим уравнения:
[tex]x = 0[/tex]
[tex]x = 1[/tex]
[tex]x^2 - 6x + 6 = 0[/tex]
Это квадратное уравнение имеет два различных корня:
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]x = 3 \pm \sqrt{3}[/tex]
Таким образом, решения уравнения: [tex]x = 0, x = 1, x = 3 + \sqrt{3}, x = 3 - \sqrt{3}[/tex].