Доказать что 3^{60}-2^{60} делится на 11

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами остатков от деления.

Для начала заметим, что 3^{60} и 2^{60} дают остатки 3 и 2 при делении на 11 соответственно.

Теперь рассмотрим разность 3^{60} - 2^{60}:

(3^{60} - 2^{60}) = (3^{59} 3 - 2^{59} 2)

Согласно малой теореме Ферма:

3^{10} ≡ 1 (mod 11)
2^{10} ≡ 1 (mod 11)

Тогда:

3^{60} ≡ 3^6 ≡ 9 (mod 11)
2^{60} ≡ 2^6 ≡ 9 (mod 11)

Таким образом,

(3^{60} - 2^{60}) ≡ (9 - 9) ≡ 0 (mod 11)

Получается, что 3^{60} - 2^{60} делится на 11.