Докажите,что точки A(3;1), B(3;4), C(6;5) и D(9;3) являются вершинами трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что данные точки являются вершинами трапеции, нужно показать, что углы между соответствующими сторонами этих точек равны.

Вычислим углы между каждой парой сторон:

Угол между сторонами AB и BC:
Вектор AB = (3-3)i + (4-1)j = (0)i + (3)j
Вектор BC = (6-3)i + (5-4)j = (3)i + (1)j
Скалярное произведение векторов AB и BC: (03) + (31) = 0 + 3 = 3
Длины векторов: |AB| = sqrt(0^2 + 3^2) = 3, |BC| = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)
Косинус угла между сторонами: cos(θ) = (AB BC) / (|AB| |BC|) = 3 / (3 * sqrt(10)) = 1 / sqrt(10)
Угол между сторонами AB и BC: θ = arccos(1/sqrt(10))

Угол между сторонами BC и CD:
Вектор BC = (3)i + (1)j
Вектор CD = (9-6)i + (3-5)j = (3)i + (-2)j
Скалярное произведение векторов BC и CD: (33) + (1-2) = 9 - 2 = 7
Длины векторов: |BC| = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10), |CD| = sqrt(3^2 + (-2)^2) = sqrt(13)
Косинус угла между сторонами: cos(θ) = (BC CD) / (|BC| |CD|) = 7 / (sqrt(10) * sqrt(13)) = 7 / sqrt(130)
Угол между сторонами BC и CD: θ = arccos(7/sqrt(130))

Угол между сторонами CD и DA:
Вектор CD = (3)i + (-2)j
Вектор DA = (3)i + (-1)j
Скалярное произведение векторов CD и DA: (33) + (-2-1) = 9 + 2 = 11
Длины векторов: |CD| = sqrt(3^2 + (-2)^2) = sqrt(13), |DA| = sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(10)
Косинус угла между сторонами: cos(θ) = (CD DA) / (|CD| |DA|) = 11 / (sqrt(13) * sqrt(10)) = 11 / sqrt(130)
Угол между сторонами CD и DA: θ = arccos(11/sqrt(130))

Угол между сторонами DA и AB:
Вектор DA = (3)i + (-1)j
Вектор AB = (0)i + (3)j
Скалярное произведение векторов DA и AB: (30) + (-13) = 0 - 3 = -3
Длины векторов: |DA| = sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(10), |AB| = sqrt(0^2 + 3^2) = 3
Косинус угла между сторонами: cos(θ) = (DA AB) / (|DA| |AB|) = -3 / (sqrt(10) * 3) = -1 / sqrt(10)
Угол между сторонами DA и AB: θ = arccos(-1/sqrt(10))

Если значения всех углов между соответствующими сторонами будут одинаковыми, то точки A, B, C и D будут вершинами трапеции.