Решите систему [tex]\left \{ {{x^2 + xy +y^2=37} \atop {x^3 - y^3=37}} \right.[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сначала выразим [tex]y^3[/tex] из второго уравнения:

[tex]x^3 - y^3 = 37 \Rightarrow y^3 = x^3 - 37[/tex]

Подставим это выражение в первое уравнение:

[tex]x^2 + xy + (x^3 - 37) = 37 \Rightarrow x^2 + xy + x^3 - 37 = 37 \Rightarrow x^2 + xy + x^3 = 74[/tex]

Преобразуем это уравнение:

[tex]x^2 + xy + x^3 = 74 \Rightarrow y = \frac{74 - x^3}{x + x} = \frac{74 - x^3}{2x}[/tex]

Подставим это выражение для [tex]y[/tex] обратно во второе уравнение:

[tex]x^3 - \left(\frac{74 - x^3}{2x}\right)^3 = 37 \Rightarrow x^3 - \frac{(74-x^3)^3}{8x^3} = 37[/tex]

Решив это уравнение, найдем значение [tex]x[/tex]:

[tex]x = 5[/tex]

Теперь найдем значение [tex]y[/tex]:

[tex]y = \frac{74 - 5^3}{2 \cdot 5} = 3[/tex]

Итак, решением системы уравнений будет [tex]x=5[/tex], [tex]y=3[/tex].